小学数学——盈亏问题

趣味数学

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《九章算术》第七章介绍了盈亏问题，这一类问题是把一定数量的物品平均分给若干对象，每个对象少分，则物品有余；如果每个对象多分，则物品不足。所以分物时经常出现盈（有余）、亏（不足）、尽（恰好分完）的情况，所以古人把这类问题称为盈不足问题。

盈亏问题情况多样，解法巧妙，倍受古人重视，在许多古代算书上留下了不少好题。下面选取其中的一个给同学欣赏：

题  目

今有人共买物，

人出八，盈三；

人出七，不足四，

问人数，物价各几何？

 

 

 

题意：有一群人凑钱买一件物品。如果每人出8枚钱币，就比物价多出3个钱币。如果每人出7枚钱币，就比物价少4个钱币。求人数和钱数各是多少？

分析：这是属于“一盈一亏”类的问题。当先进次每人出8枚钱币时多3枚，当第二次每人出7枚钱币时不但不多，还要少4枚，即第二次比先进次共少了4＋3＝7枚。这是由于第二次比先进次每人少出了8－7＝1枚钱币。相差7枚，就说明有7÷1＝7人。这样物价也就可以算出来了。

解答：4＋3＝7（枚）

8－7＝1（枚）

7÷1＝7（人）

7×8–3=53（枚）

答：一共有7人，物价为53枚。

 

事实上，古代数学家发现，在人数（即分物对象的个数）时，还有一个简单易记、琅琅上口的口诀：“有余加不足，大减小来除”。这种算法的绝妙之处在于它几乎可以不动脑筋，只要把几个数按口诀对号入座，马上可以得出答案。

 

同学们如果你学会了，有兴趣就试试下面这个题目吧！

 

钱几何

今有散钱不知其数，

作七十七陌穿之，欠五十凑穿；

作七十八陌穿之，不多不少。问钱数几何？

 

 

题意：有一些零散的钱币，如果每77枚穿成一串，那么还会剩50枚没穿；如果78枚穿成一串，正好穿完。这些钱币共有多少枚？

 

分析与解答：这道题属于“一盈一亏”类的问题。当77枚钱币为一串时，还余50枚没穿，当78枚钱币为一串时，正好穿完。表明原先的每一串77枚，都加上1枚（78－77＝1枚）时，余下的50枚刚好被穿完，说明有50串。

解：串数：50÷（78－77）＝50（串）

钱数：78×50＝3900（枚）?或?钱数：77×50＋50＝3900（枚）

 

02

数学小练

 

 

 

盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。

一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：

1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；

2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；

3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。

 

【例题1】某校乒乓球队有若干名孩子，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名孩子？

 

【思路导航】

（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男生多2人；

 

（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有4×2=8人。

 

原来女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共有7＋5=12人。

 

 

 

【例题2】小学入学老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友，则少4个；如果每个小朋友只发给4个，则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友？共有多少个苹果？

 

【思路导航】如果平均分给小朋友，则少4个，说明小朋友人数大于4；如果每个小朋友只发给4个，则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，就少拿4＋4=8个苹果。因为小朋友人数大于4，所以，一定是每人少拿1个，有8÷1=8个小朋友，有8×4＋4=36个苹果。

 

 

 

【例题3】小学入学老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的孩子每人5个余10个；如果分给小班的孩子每人8个缺2个。已知大班比小班多3人，这筐苹果有多少个？

 

【思路导航】如果大班减少3人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人5个就多余3×5＋10=25个。由于两班人数相等，小班每人多分3个就要多分（25＋2）个苹果，用（25＋2）÷（8－5）就能得到小班同学的人数是9人，再用9×8－2就求出了这筐苹果有多少个。

 

 

 

 

【例题4】小学入学教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？

 

【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5倍。因此，这箱饼干分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5=9块，一共可分到6＋9=15块饼干。

 

 

 

【例题5】全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？

 

【思路导航】根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，也就是少9个同学；每船坐6人，就要增加一条船，也就是多出6个同学。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9＋6=15人，15里面包含5个（9－6），说明有5条船。知道了有5条船，就可以求全班人数：9×（5－1）=36人。