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小学数学常见的三十个模块汇总

2020-05-28 14:23:42  来源:西安爱智康 文章作者:西安爱智康

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1.和差倍问题

 

和差问题 和倍问题 差倍问题
已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
公式适用范围 已知两个数的和,差,倍数关系
公式 (和-差)÷2=较小数
较小数+差=较大数
和-较小数=较大数
(和+差)÷2=较大数
较大数-差=较小数
和-较大数=较小数
÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
和-小数=大数
÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数+差=大数
关键问题 求出同一条件下的
和与差 和与倍数 差与倍数
 
2.年龄问题的三个基本特征:
①两个人的年龄差是不变的;
两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
两个人的年龄的倍数是发生变化的;
 
3.归一问题的基本特点问题中有一个不变的量,一般是那个单一量,题目一般用照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;
 
4.植树问题
基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树 封闭曲线上植树
基本公式 棵数=段数+1
棵距×段数=总长 棵数=段数-1
棵距×段数=总长 棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题 确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系
 
5鸡兔同笼问题
基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路:
假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:找出总量的差与单位量的差。
 
6.盈亏问题
基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
基本题型:
一次有余数,另一次不足;
基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
当两次都有余数;
基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
当两次都不足;
基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:对象总量和总的组数是不变的。
关键问题:确定对象总量和总的组数。
 
7.牛吃草问题
基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:确定两个不变的量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
 
8.周期循环与数表规律
周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题:确定循环周期。
 年:一年有366天;
年份能被4整除;如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
 年:一年有365天。
年份不能被4整除;如果年份能被100整除,但不能被400整除;
 
9.平均数
基本公式:①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法:
求出总数量以及总份数,利用基本公式进行计算.
基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②。
 
10.抽屉原理
抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m ]+1个物体:当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:当n能被m整除时。
理解知识点:[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。

 

11.定义新运算
基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
 
12.数列求和
等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;
项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.
基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
基本公式:通项公式:an = a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1) ×公差;
数列和公式:sn,= (a1+ an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:n= (an+ a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:d =(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;
 
13.二进制及其应用
十进制:用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意:N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
 
二进制:用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
(2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意:An不是0就是1。
 
十进制化成二进制:
①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。
 
14.加法乘法原理和几何计数
加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题:确定工作的分类方法。
基本特征:每一种方法都可完成任务。
乘法原理:如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:m1×m2....... ×mn种不同的方法。
关键问题:确定工作的完成步骤。
基本特征:每一步只能完成任务的一部分。
直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
直线特点:没有端点,没有长度。
线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点:有两个端点,有长度。
射线:把直线的一端无限延长。
射线特点:只有一个端点;没有长度。
数线段规律:总数=1+2+3+…+(点数一1);
数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
数长方形规律:个数=长的线段数×宽的线段数:
数长方形规律:个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
 
15.质数与合数
质数:一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:N=,其中a1a2a3……an都是合数N的质因数,且a1<a2<a3<……<an
求约数个数的公式:P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。
 
16.约数与倍数
约数和倍数:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质:
1、 几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m
例如:12的约数有1234612
18的约数有:1236918
那么1218的公约数有:1236
那么1218最大的公约数是:6,记作(1218=6
求最大公约数基本方法:
1、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法:先找公有的约数,然后相乘。
3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有:12243648……
18的倍数有:18365472……
那么1218的公倍数有:3672108……
那么1218最小的公倍数是36,记作[1218]=36
最小公倍数的性质:
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
 
17.数的整除
一、基本概念和符号:
1、整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a
2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号,所以的符号
二、整除判断方法:
1. 能被25整除:末位上的数字能被25整除。
2. 能被425整除:末两位的数字所组成的数能被425整除。
3. 能被8125整除:末三位的数字所组成的数能被8125整除。
4. 能被39整除:各个数位上数字的和能被39整除。
5. 能被7整除:
末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除:
末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除:
末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质:
1. 如果ab能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4. 如果a能被bc整除,那么a也能被bc的最小公倍数整除。
 
18.余数及其应用
基本概念:对任意自然数abqr,如果使得a÷b=q……r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数,q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质:
余数小于除数。
ab除以c的余数相同,则c|a-bc|b-a
ab的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
ab的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

 

19.余数、同余与周期
一、同余的定义:
若两个整数ab除以m的余数相同,则称ab对于模m同余。
已知三个整数abm,如果m|a-b,就称ab对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余于bm
二、同余的性质:
自身性:a≡a(mod m)
对称性:若a≡b(mod m),则b≡a(mod m)
传递性:若a≡b(mod m)b≡c(mod m),则a≡ c(mod m)
和差性:若a≡b(mod m)c≡d(mod m),则a+c≡b+d(mod m)a-c≡b-d(mod m)
相乘性:若a≡ b(mod m)c≡d(mod m),则a×c≡ b×d(mod m)
乘方性:若a≡b(mod m),则an≡bn(mod m)
同倍性:a≡ b(mod m),整数c,则a×c≡ b×c(mod m×c)
三、关于乘方的预备知识:
A=a×b,则MA=Ma×b=Mab
B=c+dMB=Mc+d=Mc×Md
四、被3911除后的余数特征:
一个自然数Mn表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod 9)或(mod 3);
一个自然数MX表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-XM≡11-X-Y(mod 11)
五、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(mod p)
 
20.分数与百分数的应用
基本概念与性质:
分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。
分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。
百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法:
逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
假设思维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。
量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变。B、总量发生变化,但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。
替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
 
21.分数大小的比较
基本方法:
通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。
通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。
基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。
分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。
倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律)
转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。
倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。
大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。
倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。
基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。
 
22.分数拆分
一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式:
 =+
=+d为自然数);
23.完全平方数
完全平方数特征:
1. 末位数字只能是:014569;反之不成立。
2. 除以30或余1;反之不成立。
3. 除以40或余1;反之不成立。
4. 约数个数为奇数;反之成立。
5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式:X2-Y2=X-Y)(X+Y
完全平方和公式:(X+Y2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式:(X-Y2=X2-2XY+Y2
 
24.比和比例
比:两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。
比值:比的前项除以后项的商,叫做比值。
比的性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外),比值不变。
比例:表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d
比例的性质:两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)ad=bc
正比例:若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时),则AB成正比。
反比例:若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时),则AB成反比。
比例尺:图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配:把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。
 
25.综合行程
基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式:路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
关键问题:确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题:速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)
追及问题:追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)
流水问题:顺水行程=(船速+水速)×顺水时间
逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
 =(顺水速度-逆水速度)÷2
流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。
过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。
主要方法:画线段图法
基本题型:已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。
 
26.工程问题
基本公式:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路:
假设工作总量为“1”(和总工作量无关);
假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题:确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评:合久必分,分久必合。
 
27.逻辑推理
基本方法简介:
条件分析假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。
条件分析列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。
条件分析——图表法:当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示是,有等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。例如AB两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。
逻辑计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。
 
28.几何面积
基本思路:
在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法:
1. 连辅助线方法
2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。
4. 利用特殊规律
等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)
梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。
圆的面积占外接正方形面积的78.5%
 
29.立体图形
名称 图形 特征 表面积 体积
长方体 8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等; S=2(ab+ah+bh) V=abh
=Sh
正方体 8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3
圆柱体 上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形; S=S+2S
S=Ch V=Sh
圆锥体 下底是圆;只有一个顶点;l:母线,顶点到底圆周上任意一点的距离; S=S+S
S=rl V=Sh
球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 S=4r2 V=r3
 
30.时钟问题快慢表问题
基本思路:
1、 按照行程问题中的思维方法解题;
2、 不同的表当成速度不同的运动物体;
3、 路程的单位是分格(表一周为60分格);
4、 时间是标准表所经过的时间;

合理利用行程问题中的比例关系; 

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