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2021中考数学人教版有理数知识点归纳

2020-11-26 09:05:07  来源:本站原创

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  一、正数和负数

  正数和负数的概念

  负数:比0小的数;正数:比0大的数。

  0既不是正数,也不是负数

  ☆注意:字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。强调:带正号的数不一定是正数,带负号的数不一定是负数。

  具有相反意义的量

  若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.

  二、有理数

  有理数的概念

  (1)正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)

  (2)正分数和负分数统称为分数

  (3)整数和分数统称有理数

  ☆注意:①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。

  数轴

  (1)数轴的概念:规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。

  注意:数轴是一条向两端无限延伸的直线;

  原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;

  数轴的三要素都是根据实际需要规定的,同一数轴上的单位长度要统一;

  (2)数轴上的点与有理数的关系

  所有的有理数都可以用数轴上唯一的点来表示,正有理数可用原点正方向的点表示,负有理数可用原点负方向的点表示,0用原点表示。

  相反数

  (1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数;0的相反数是0;任何一个有理数都有相反数

  (2)互为相反数的两数的和为0,即:若a、b互为相反数,则a+b=0;互为相反数的两个点在数轴上分别位于原点两侧,并且与原点的距离相等。

  (3)在一个数的前面加上负号“-”,就得到了这个数的相反数。a的相反数是-a。

  (4)多重符号的化简

  多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。

  绝对值

  (1)绝对值的几何定义:数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做a的绝对值,记作:|a|

  (2)求绝对值:正数的绝对值是它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;可用字母表示为:①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a<0,那么|a|=-a; ③如果a=0,那么|a|=0。

  可归纳为①:a≥0时,|a|=a(非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。) ②a≤0时,|a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)

  (3)若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)

  有理数比大小

  (1)利用数轴表示两数大小

  在以向右为正方向的数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;

  正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;

  (2)数轴上特殊的最大(小)数

  最小的自然数是0,无最大的自然数;

  最小的正整数是1,无最大的正整数;

  最大的负整数是-1,无最小的负整数

  (3)利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;

  (4)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0。

  三、有理数的加、减法运算

  有理数加法

  (1)同号两数相加,取相同符号,并且把绝对值相加

  (2)异号两数相加,取绝对值大的数的符号,并且用较大的绝对值减去较小的绝对值

  (3)互为相反数的两数相加得0

  ☆

  加法交换律:两个有理数相加,交换加数的位置,和不变,a+b=b+a

  加法结合律:三个有理数相加,先把前两个数相加,再把结果与第三个数相加;或者先把后两个数相加,再把结果与第一个数相加,和不变,(a+b)+c=a+(b+c)

  ☆

  (1)同号结合相加(正数+正数、负数+负数)

  (2)互为相反数的两数结合相加(把相加结果为零的数结合相加)

  (3)几个分数相加,将同分母的先结合相加

  (4)将求和后为整数的数先结合相加

  (5)几个带分数相加,可将整数部分与分数部分分别结合相加

  ☆在一个求和的式子中,通常可以把“+”省略不写,同时去掉加数的括号

  有理数的减法

  根据相反数的定义,减去一个数,等于加上这个数的相反数,有理数的减法可以转化为加法进行计算。引入相反数的之后,有理数的加减混合运算可以统一为加法运算。

  四、有理数的乘、除法运算

  有理数乘法

  (1)异号两数相乘得负数,并把绝对值相乘;同号两数相乘得正数,并把绝对值相乘。

  (2)任何数与0相乘都得0

  ☆有理数的乘法运算定律

  乘法交换律:两个有理数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。a×b=b×a

  乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再和另外一个数相乘,或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘,积不变。a×b×c=a×(b×c)

  乘法分配律:两个数的和(差)同一个数相乘,可以先把两个加数(减数)分别同这个数相乘,再把两个积相加(减),积不变。a×(b+c) =a×b+a×c

  倒数

  (1)乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;

  (2)若a,b互为倒数,则ab=1;

  (3)求倒数:求一个数的倒数就是用1去除以这个数。

  ①求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可;

  ②求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;

  ③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);

  ④倒数等于它本身的数是1或-1;

  有理数除法

  (1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。

  (2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0

  有理数的加减乘除混合运算

  (1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。

  (2)有理数的加减乘除混合运算,如果有括号先计算括号里的,如果无括则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行,同级运算中,按前后顺序从左到右依次运算,谁在前先算谁。

  五、有理数乘方

  乘方的概念:求n 个相同因数的乘积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数。

  记作:an,在an中,a 叫做底数,n 叫做指数,an叫做幂

  乘方的性质

  (1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。

  (2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。

  (3)互为相反数的两个数的奇数次幂仍互为相反数,偶数次幂相等。

  (4)任何一个数的偶数次幂都是非负数。

  有理数的混合运算

  做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:

  (1)先乘方,再乘除,最后加减;

  (2)同级运算中,按前后顺序从左到右依次运算,谁在前先算谁。

  (3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。

  科学记数法

  把一个绝对值大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数(即1≤|a|<10,n是正整数),这种记数法叫科学记数法。

  方法:①a的确定:把原数的小数点向左移动,使它的整数位数为1,数的正负号保持不变;②n=原数的整数数位-1。

  标签: 2021中考
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